materi matematika kelas 2 SMA

Kamis, 28 November 2013

PECAHAN

Apabila kita diberikan dua pecahan, misalkan 2/3 dan 8/11, apakah kamu dapat membandingkan kedua pecahan tersebut? Pecahan mana yang lebih besar? Sebelumnya, mari kita selesaikan permasalah tersebut dengan sebuah perumpamaan. Dua pertiga sama dengan dua bagian roti apabila kita membaginya menjadi 3 bagian yang sama besar. Demikian juga dengan 8/11 sama dengan 8 bagian roti apabila kita membaginya menjadi 11 bagian yang sama besar. Perhatikan gambar yang merepresentasikan kedua pecahan tersebut.
Pecahan

Dengan bantuan gambar di atas, kita dapat melihat dengan mudah bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3, atau dapat dituliskan 8/11 > 2/3. Sekarang mari kita lihat posisi kedua pecahan tersebut pada garis bilangan.

Dari garis bilangan tersebut, kita dapat memperoleh bahwa 8/11 berada di kanan 2/3. Hal ini merupakan bukti lain bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3. Selain dengan menggunakan gambar dan garis bilangan, apakah ada cara lain untuk membandingkan dua pecahan?
Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Penyebut
Membandingkan pecahan dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. Penyebut dari pecahan-pecahan yang belum sama, dapat disamakan dengan menggantinya dengan faktor persekutuan penyebut pecahan-pecahan tersebut.
Misalkan kita akan membandingkan dua pecahan sebelumnya, yaitu 8/11 dan 2/3. Faktor persekutuan dari 11 dan 3 di antaranya adalah 33, 66, 99, dan 132. Kita ambil saja faktor persekutuan yang terkecil, atau disebut KPK, yaitu 33. Sehingga,
Pecahan 1

Karena 24 bagian dari 33 lebih besar daripada 22 bagian dari 33, maka
Pecahan 2

Setelah dapat membandingkan dua pecahan, sekarang kita akan berlatih untuk mengurutkan beberapa pecahan. Misalkan diberikan pecahan-pecahan 1/3, 2/5, 4/15, 5/12, dan 5/6. Dapatkah kamu mengurutkan pecahan-pecahan tersebut dari yang terkecil ke terbesar?
Sebelum mengurutkan pecahan-pecahan tersebut, kita harus membandingkan pecahan-pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya. KPK dari 3, 5, 15, 12, dan 6 adalah 60. Sehingga,
Pecahan 3

Setelah menyamakan penyebut-penyebutnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya. Urutan pecahan-pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah,
Pecahan 4

Untuk mengurutkan pecahan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, apa yang perlu diperhatikan?

Apabila dua pecahan memiliki penyebut yang sama, pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar, nilainya lebih besar daripada pecahan yang pembilangnya lebih kecil.

Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan gambar berikut!
Mengurutkan Pecahan I

Selain dengan menyamakan penyebutnya, kita dapat mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya.
Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Pembilang
Sebelum kita mulai mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya, mari kita tinjau pecahan-pecahan yang pembilangnya sama berikut.
Membandingkan Pecahan

Dari ketiga contoh pecahan di atas, apa yang dapat kita peroleh?

Apabila dua pecahan memiliki pembilang yang sama, maka pecahan yang penyebutnya lebih besar, nilainya lebih kecil daripada pecahan yang penyebutnya lebih kecil.

Agar kamu mudah mengingat pernyataan di atas, kamu dapat memperhatikan gambar berikut.
Mengurutkan Pecahan II

Selanjutnya mari kita urutkan pecahan-pecahan 1/2, 3/5, 2/3, 4/7, dan 5/9 dari yang terbesar ke terkecil. KPK dari 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah 60. Sehingga,
Pecahan 5

Setelah menyamakan pembilang-pembilangnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya. Urutan pecahan-pecahan dari yang terbesar ke terkecil adalah,
Pecahan 6

Semoga bermanfaat,

http://yos3prens.wordpress.com/2013/05/31/mengurutkan-pecahan/

LINGKARAN

http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Lingkaran

Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional!

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C=0$ :

$r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}$

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

$r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}$

$r= \sqrt {25}$

$r= 5$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25$

$x^2+y^2-4x-14y+28=0$

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^2-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$ !
Jawab:

$y=x^2-2x+5$

$x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1$

$y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3, B=4, C=5$

$d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

$d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert$

$d = r = \frac {24}{5}$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}$

$x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0$

$25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: $D=b^2-4 ac$
Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

$x^2 + (x+10)^2=9$

$x^2+ (x^2+20x+100)-9=0$

$2x^2 +20x+91=0$

$D=b^2-4 ac$

$D=20^2- 4\times 91 \times 2$

$D= 400-728= -328$

Karena $D<0$ , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

$x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0$

$2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0$

$2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0$

$4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0$

$-4p^2+24p-20<0$

$-4(p^2-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional.

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y = r^2$

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2$

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0$

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}$ atau

$y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}$

Kamis, 28 November 2013

PECAHAN

LINGKARAN

http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Lingkaran

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran